Es una correspondencia entre dos conjuntos. Habitualmente se representa la variable dependiente por la letra y, y la variable independiente por la letra x, de tal forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Conjunto de valores de x para los cuales existe una función. Es decir, son los valores de x para los cuales f(x) tiene un valor numérico.

Es aquella que tiene distinta expresión según el intervalo en el que se encuentre definida. Ejemplo:

La simetría puede ser par o impar. La simetría par es respecto del eje vertical, mientras que la impar es respecto del origen de coordenadas.

• Simetría par:  simetría respecto del eje vertical. Cumple que:  f(-x)=f(x)

• Simetría impar: simetría respecto del origen de coordenadas. Cumple que:  f(-x)=-f(x)

Valor al que tiende una función cuando toma valores muy próximos a determinado punto, sin pasar por dicho punto.

Expresión matemática resultado de calcular un límite que no tiene sentido a priori, pero que debe ser resuelta por un método u otro según el caso. Existen de los siguientes tipos:

Una función es continua en un punto si existe el valor de la función en dicho punto y es igual al valor del límite en ese punto. De forma menos rigurosa pero más intuitiva, una función es continua si la podemos dibujar de un único trazo.

Puntos en los que una función está definida pero no es continua. Existen discontinuidades de los siguientes tipos:

• Evitable

 

• Inevitable de salto finito

 

• Inevitable de salto infinito

Es una recta imaginaria hacia la que tiende la función, aproximándose infinitamente a ella, sin llegar a tocarla. Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.

• Asíntota vertical 

• Asíntota horizontal 

• Asíntota oblicua 

Si una función está definida y es continua en un intervalo cerrado [a,b] y el signo de la función en los extremos de los intervalos son diferentes, entonces existe al menos un valor cϵ(a,b) tal que f(c)=0. Es decir, la función corta al eje x al menos una vez en dicho intervalo. al eje x al menos una vez en dicho intervalo.

Si una función está definida y es continua en un intervalo cerrado, entonces la función está acotada en dicho intervalo. Es decir, la función alcanza máximos y mínimos absolutos en ese intervalo.

Es la tasa de variación instantánea de una función en cada punto. La derivada de una función es a su vez otra función. También se define como el límite de las tasas de variación medias cuando los intervalos considerados tienden a cero.

Recta que corta a una función en un punto cuya pendiente coincide con el valor de la derivada en dicho punto.

En el siguiente vídeo tienes un ejemplo de ejercicio de ecuación de la recta tangente.

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Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

Regla que permite resolver algunos límites con indeterminaciones mediante el uso de derivadas. 

En el siguiente vídeo tienes algún ejemplo de ejercicio de aplicación de la regla de L'Hôpital.

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Una función es derivable en un punto si la función es derivable en dicho punto y, además, los límites laterales de la derivada son iguales. Si esta última condición no se cumple, pero la función es continua, se dice que la función presenta un punto anguloso.

Si una función es continua en un intervalo [a,b], derivable en (a,b) y cumple que f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b tal que su derivada, f'(c), sea nula.

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto en el que la derivada de la función coincide con la tasa de variación media entre a y b.

Intervalos en los que una función continua y derivable tiene derivada positiva (crece) o negativa (decrece).

Punto en el que la derivada de una función se anula. Puede ser un máximo relativo, un mínimo relativo, o un punto de inflexión.

Punto en el que la función alcanza su valor más alto o más bajo en todo su dominio de definición. El teorema de Weierstrass asegura que estos puntos existen siempre que la función sea continua y definida en un intervalo cerrado.

Intervalos en los que una función continua y derivable tiene segunda derivada positiva (convexa, ∪) o negativa (cóncava, ∩).

Punto en el que la segunda derivada se anula y la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

Tipo de problemas en los que se debe maximizar o minimizar una magnitud. Habitualmente la función no será dato sino que será necesario construirla.

En el siguiente vídeo tienes un ejemplo de planteamiento y resolución de problema de optimización.

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Función que se encuentra dentro de una integral.

Conjunto de todas las funciones cuya derivada es la función de partida. Este conjunto depende de una constante de integración, que al derivar desaparece.

Integral indefinida en la que la constante de integración toma un valor en concreto.

Establece que la derivada de una primitiva es la función original, poniendo de manifiesto que la derivación y la integración son operaciones inversas entre sí.

Integral cuyo integrando está formado por una función y su derivada, de forma que el cálculo a realizar se reduce al uso de las tablas de integración.

Integral cuyo integrando es un cociente de polinomios.

Método de integración que consiste en transformar una integral de un producto de funciones en otra integral más sencilla de resolver.

¡Consejo! Una regla nemotécnica para recordarla fácilmente es la frase "un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme"

Método de integración que consiste en sustituir una parte del integrando por otra variable de forma que se obtenga una integral más sencilla de resolver.

Es el área limitada por la gráfica de una función y el eje de abscisas en un intervalo determinado.

Extremos del intervalo en el que está evaluada una integral definida.

Permite calcular el valor de una integral definida como la diferencia de las primitivas de la función evaluadas en los límites de integración.

Si una función es continua en un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c en dicho intervalo que cumple que f(c)·(b-a) es igual a la integral definida de la función entre a y b.

Conjunto de números distribuidos de forma rectangular en filas y columnas. Ejemplo:

Cada uno de los números que componen una matriz. Se suelen representar con dos subíndices que indican fila y columna a las que corresponde cada elemento. El elemento que pertenece a la fila i y a la columna j se denota como a_ij 

Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo:

Matriz cuadrada cuyos elementos son nulos salvo los que pertenecen a la diagonal principal, que está compuesta por unos.

Matriz cuyos elementos son todos nulos. Ejemplo:

Matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. 

• Triangular superior 

• Triangular inferior

Matriz cuadrada cuyos elementos son nulos salvo los que pertenecen a la diagonal principal.

Se denota como A^t . Es la matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas (o viceversa) de una matriz dada. Ejemplo:

Matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. Estas matrices siempre son cuadradas. Ejemplo:

Una matriz es cíclica si cumple que alguna de sus potencias es la matriz identidad. La potencia para la cual sucede se denomina periodo.

Dos matrices se dice que conmutan cuando su producto es igual en ambos sentidos, es decir, AB=BA.

Valor numérico asociado a una matriz cuadrada. Se representa como det(A) ó |A|.

Método para calcular determinantes de matrices de dimensión 3.

Es el determinante que resulta de eliminar la fila i y la columna j correspondiente al elemento ij de una matriz cuadrada. Ejemplo:

Es el menor complementario del elemento ij multiplicado por +1 o -1 según la posición que ocupe.

Es la matriz resultante de sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente.

Matriz cuyo producto por la matriz original resulta en la matriz identidad. Se denota como A^-1 

Número máximo de filas o columnas linealmente independientes en una matriz.

Ecuación cuya incógnita es una matriz, en lugar de un número. Ejemplo:

En el siguiente vídeo puedes encontrar un ejemplo de resolución de ecuaciones matriciales.

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Método para resolver sistemas de ecuaciones lineales o calcular rangos de matrices que consiste en realizar operaciones elementales entre filas de una matriz hasta hacerla triangular superior.

Conjunto de ecuaciones en los que únicamente intervienen polinomios de primer grado de las incógnitas correspondientes.

En el siguiente vídeo tienes un ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones con parámetros.

Además, en el siguiente vídeo puedes encontrar un ejemplo de planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

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Matriz que recoge los números que multiplican a cada una de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales. Se suele representar con la letra A.

Matriz columna que recoge las incógnitas que intervienen en un sistema de ecuaciones lineales. Se suele representar con la letra X.

Matriz columna que recoge los términos independientes que intervienen en un sistema de ecuaciones lineales. Se suele representar con la letra B.

Matriz que recoge toda la información presente en un sistema de ecuaciones lineales. Está formada por la matriz de coeficientes y la matriz de términos independientes.. Se suele representar como A*.

Permite realizar la discusión de un sistema de ecuaciones en función del rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:

• R(A)=R(A*)=número de incógnitas → Una única solución

• R(A)=R(A*)≠número de incógnitas → Infinitas soluciones

• R(A)≠R(A*) → No existe solución

Sistema de ecuaciones lineales que posee una única solución. En este caso, los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son iguales e igual al número de incógnitas:

R(A)=R(A*)=número de incógnitas

Sistema de ecuaciones lineales que posee infinitas soluciones. En este caso, los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son iguales pero distintos al número de incógnitas: 

R(A)=R(A*)≠número de incógnitas

Sistema de ecuaciones lineales que no posee ninguna solución. En este caso, los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son distintos: 

R(A)≠R(A*) 

Sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son nulos. Estos sistemas siempre poseen al menos una solución, es decir, no pueden ser incompatibles.

Método que permite resolver sistemas compatibles determinados por medio de determinantes. Consiste en sustituir la matriz de términos independientes por cada columna de la matriz de coeficientes y calcular su determinante. A continuación, se divide este valor por el determinante de la matriz de coeficientes y se obtienen, en cada caso, los valores de las incógnitas.

Número cuyo valor es indeterminado y normalmente se representa por una letra. Si se exigen determinadas condiciones en un problema, el valor del parámetro quedará definido por lo que pasará a ser una incógnita.

Elemento del espacio caracterizado por tres componentes que fijan su posición.

Segmento orientado en el espacio, de forma que tiene origen en un punto y final en otro.

Longitud de un vector.

Vector cuyo módulo es la unidad, de forma que únicamente proporciona una dirección. Ejemplo:

Vectores que tienen la misma dirección. Sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como sumas o restas de múltiplos de los vectores del conjunto.

Operación entre dos vectores que da como resultado un número. Se suele utilizar para cálculo de ángulos y para estudiar si dos vectores son perpendiculares.

Operación entre dos vectores que da como resultado un vector. Este vector siempre será perpendicular a los vectores de partida.

También se utiliza para el cálculo de áreas de paralelogramos:

Operación entre tres vectores que da como resultado un número. Es una combinación del producto escalar y vectorial. 

Se suele utilizar para calcular volúmenes de paralelepípedos o para estudiar la dependencia lineal de tres vectores.

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo, es decir, son perpendiculares.

Conjunto de vectores unitarios que son ortogonales entre sí.

Un conjunto de vectores es independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Un vector es opuesto a otro si tienen el mismo módulo y dirección pero distinto sentido. Matemáticamente, un vector es el opuesto de otro si sus componentes son iguales pero cambiados de signo. Ejemplo:

Conjunto de vectores independientes que generan un espacio vectorial. En particular, en tres dimensiones, es un conjunto de tres vectores linealmente independientes.

Base ortonormal formada por los vectores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), que dan dirección a los ejes de coordenadas. A estos vectores se les suele llamar i, j, k, respectivamente.

Sucesión infinita y continua de puntos que se extienden en una misma dirección. Para definir una recta se necesita un punto y un vector director.

Vector que da dirección a una recta. Cualquier vector proporcional a un vector director será también vector director. También puede hacer referencia a un vector contenido en un plano.

Permiten obtener las coordenadas de cada uno de los puntos de la recta y contienen toda la información útil sobre las mismas. Existen las siguientes formas:

• Ecuación vectorial 

• Ecuación paramétrica 

• Ecuación continua 

• Ecuaciones generales o implícitas 

Superficie infinita que contiene infinitos puntos y rectas. Para definir un plano se necesita, bien, un punto y dos vectores directores, o bien, un punto y un vector normal.

Vector que es perpendicular a todos los vectores directores de un plano.

Permiten obtener las coordenadas de cada uno de los puntos del plano y contienen toda la información útil sobre los mismos. Existen las siguientes formas:

• Ecuación vectorial 

• Ecuación paramétrica 

• Ecuación implícita o general 

Dicho de un conjunto de puntos, vectores o rectas, que se encuentran en el mismo plano. Tres vectores son coplanarios si su producto mixto es nulo:

Dicho de dos o más elementos, que se encuentran a la misma distancia de un otro.

Plano perpendicular al segmento formado por dos puntos y que lo corta en su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos dados.

Plano que divide en dos ángulos iguales a otros dos planos. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos dados.

Referido a un punto, vector o recta es el elemento que se obtiene de intersecar las rectas proyectantes auxiliares perpendicularmente al plano de proyección (o a la recta de proyección). Dicho de una forma más intuitiva, es la “sombra” de un punto, vector o recta sobre un plano (u otra recta).

Variable cuyo valor está sujeto al resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, el valor obtenido al lanzar un dado.

Conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Cada uno de los sucesos que conforman el espacio muestral.

Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral que se quieran definir.

Suceso que ocurre siempre. Contiene al espacio muestral.

Suceso que no ocurre nunca. No contiene ningún elemento del espacio muestral.

Suceso que contiene todos los elementos que pertenecen a la vez a los sucesos dados.

Suceso que contiene todos los elementos que pertenecen a los sucesos dados.

Sucesos que no tienen ningún elemento en común, es decir, su intersección es el conjunto vacío.

Suceso formado por todos los sucesos elementales que no pertenecen al suceso dado.

Fórmulas que relacionan intersecciones y uniones de sucesos con sus complementarios.

Valor numérico comprendido entre 0 y 1 que mide cómo de probable es que ocurra un determinado suceso.

Permite obtener directamente la probabilidad de que ocurra un determinado suceso en un experimento aleatorio como el cociente entre el número de casos favorables entre el número de casos posibles.

Probabilidad de que ocurra un suceso partiendo del supuesto de que ya ha ocurrido otro suceso.

Sucesos los cuales no se afectan mutuamente, es decir, el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad de que suceda el otro.

Herramienta que permite ordenar la información de un problema y facilitar su resolución. Los sucesos se ordenan de forma que los que pueden ocurrir primero se desdoblan en ramas con las diferentes posibilidades que pueden suceder a continuación. Son útiles cuando se tienen datos de probabilidades condicionadas.

Herramienta que permite ordenar la información de un problema y facilitar su resolución. Los sucesos se ordenan de forma que en los lados de la tabla aparecen los sucesos y en las celdas del medio las intersecciones.

Permite calcular la probabilidad de un suceso del cual solamente se conocen las probabilidades condicionadas a otros sucesos (cuyas probabilidades sí son conocidas).

Permite calcular la probabilidad de un suceso a posteriori. En un diagrama de árbol, sirve para calcular la probabilidad de que un suceso provenga de una determinada rama.

Es el producto de un número multiplicado por todos los números naturales menores que él. Aparece en los números combinatorios. Se representa con una exclamación “!”. Ejemplo: 5!=5·4·3·2·1=120.

Se suele leer como “n sobre k” o “combinaciones de n en k”. Es el número de combinaciones de k elementos escogidos entre un conjunto de n elementos. Aparece en la fórmula de la probabilidad de la distribución binomial.

Distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos que tienen lugar al realizar un experimento dicotómico (solo se puede acertar o fallar) un número determinado de veces. Se representa como B(n,p), donde n es el número de veces que se realiza el experimento y p la probabilidad de éxito.

Distribución de probabilidad continua que tiene forma de campana (llamada campana de Gauss) y es simétrica. El área bajo la campana es la probabilidad de que el valor esté en el intervalo seleccionado. Se representa como N(μ,σ), donde μ es la media y σ es la desviación típica.

Distribución normal cuya media es 0 y desviación típica es 1. Es importante ya que es la que se utiliza en las tablas de distribución normal.

Cambio de variable mediante el que se transforma una distribución normal cualquiera en la distribución normal estándar con el objetivo de poder utilizar las tablas de distribución normal.

También llamado esperanza matemática, o simplemente media. Es una medida de centralización que representa el valor medio de una distribución de probabilidad.

Medida de dispersión de una distribución de probabilidad. Es el cuadrado de la desviación típica.

Medida de dispersión de una distribución de probabilidad. Representa cómo de próximos a la media están los datos del experimento aleatorio.

Corrección que se realiza siempre que se aproxima una distribución binomial por una distribución normal debido a que la binomial es una distribución discreta y la normal es una distribución continua.

Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, cuya solución es el conjunto de números que la cumplen.

Inecuación formada por incógnitas que se suman o se restan pero que en ningún caso se multiplican o dividen ni tampoco están elevadas a exponentes distintos de la unidad.

Son las condiciones que se imponen a una función objetivo en programación lineal.

Si, por ejemplo, x es el número de sofás vendidos e y el número de sillas vendidas por una tienda de muebles y en total la tienda debe vender menos de 100 unidades, las restricciones serían:

x > 0, y > 0, x + y < 100

Se trata de la función que, sujeta a unas restricciones concretas, se busca optimizar (maximizando o minimizando su valor).

Es el recinto que determina la solución del sistema de inecuaciones formado por las restricciones. Está formado por todos los puntos que cumplen todas las restricciones.

Se trata de un punto que se encuentra en la región factible y que da solución (no óptima) a un problema de programación lineal.

Es el punto que pertenece a la región factible y que da la solución óptima, esto es, consigue minimizar o maximizar la función objetivo de un problema de programación lineal.

Son las variables (x, y, z...) de un problema de programación lineal cuyos valores óptimos se desea encontrar.

Desigualdad donde se usan los símbolos "mayor que" o "menor que".

Desigualdad en la que se emplean los símbolos de "mayor o igual que" o "menor o igual que".

Región que contiene la solución buscada y que está delimitada por las rectas correspondientes a las restricciones del problema. Los puntos que forman la región son las soluciones factible del problema.

Región que contiene la solución buscada y que no está delimitada completamente por las rectas correspondientes a las restricciones del problema. La región solución se extiende hasta el infinito.

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